数学¶

拓扑学¶

$R^m$ 的子集 $X$ 的一种性质叫做拓扑性质，如果它等介于一个只利用:math:X 的开集的概念与集合论的一些标准既来下定义的性质。

主要研究存在性定理，例如大多数应用的共同特点出现在一个存在定理的证明中，一个存在定理是这样的定理，它断言，某一个大类问题中的每一个，有某种特殊性质的的一个解。存在定理是拓扑学的基本结构。

主要定理的应用，关于多项式的零点，映射的不动点以及向量场的奇点等的存在定理。也要用于证明紧致性，连通性以及连续性。

拓扑学定义¶

$R^m$ 的子集 $X$ 的一种性质叫做拓扑性质，如果它等价于一个只利用 $X$ 的开集的概念与集合论的一些标准概念(元素，子集，补集，并集，交集，有限集，无限集等等）来定义的性质，简短的说 $R^m$ 的子集X 的拓扑性质就是可以表达X的开集族的性质的那一种性质。

$R^m$ 的子集`X`与 $R^n$ 的子集 Y 叫做拓扑等价（或者同胚），如果存在一个一对一的函数 $f:X->Y$ 使得 f 连续并且 $f^{-1}:Y-X$ 也连续，此外，这函数f叫做拓扑等价(或同胚)

所以是可以利用微分, 连续,有界等等来研究拓扑结构。函数的微分性质。

拓扑学是研究点集与函数的拓扑性质的学科。

连续性就是函数的一个拓扑性质。

紧致性与连通性都是拓扑性质。

别如连通集的补集不连通。

但是牵涉到`X` 或它的子集的诸如大小，形状，角度，长度，面积或者体积等特性，它就不可能是拓扑性质。

不动点理论 $f(x)=x$ 就是求不动点的过程。

线段的每一个自映射至少有一个不动点,那么对于差分方程应该有不少的不动点了。

圆到直线的每一个映射都把某对对径点映成同一个象点。就一个就是平分问题，

薄煎饼问题¶

如果 A 与 B 是同一平面中两个有界区域，那么平面中存在一条直线，它把每个区域分成等面积的两半。同样如果A是平面中有界区域，那未存在着两条垂直的直线，把A分成面积相等的四份。

一维是区间二维是圆片平面中一圆C与它的内部并集叫做一个圆片D,圆C叫做D的边界.

以及绕数，拓扑问题，现在看来都可以通过函数的性质来进行研究。

二维的主要定理¶

设 $f:D->P$ 是从一圆片到平面的映射，C 是D 的边界圆，并设y 是平面中不在fC上的一点,如果 f|C 在点y处的围线数不为零，则 $y\in{fD}$ 也就是存在一点 $\exists x \in D, f(x) =y$

例如树的年轮可以用闭区线同伦。的函数定义。

混沌理论 ¶

chaos	数论	数学分析
张量分析	` 复变函数 <ComplexFunction>`_	矩阵论
近世代数		概率统计与随机过程

– Main.GegeZhang - 08 Feb 2013

方均根误差 RMSe=sqrt(sum((Ti-Ai).^2)/n)
方均跟误差函数：std（abs（x1-x0))	x1是求得数据，x0为原始数据

root mean square sqrt（1/N sum（（x1-x0)^2+（y1-y0)^2）） x1 和y1变动起来。 [Direct Position Determination of Multiple Radio Signals]

随机过程

泛函数分析¶

主要研究无限维空间（具有各种拓扑）的结构，它间之间的映射以及映射的微积分。

Thinking¶

数学分析，高等代数，概率论与数理统计，解析几何，常微分方程，实变函数论，复变函数，微分几何，近世代数，数论，我们学校还另外开了数学建模以及经济数学中那个叫啥来着......基本上就这些专业课了，LZ想跨过来的话个人以为数学分析和高等代数要系统的学了，特别是数学分析，没学好这个的话后继课程基本上学了也白搭，加油吧，毅力胜过一切！

– Main.GangweiLi - 18 Sep 2013

我学的是基础数学，数学分析高等代数解析几何是基础，抽象代数是高代的深入，实变函数又叫实分析是数学分析的深入，加上常微分方程和复变就可以了，拓扑和泛函是研究生的基础，努力学下就可以了~~~我感觉每门都很重要。都是整体，对了，还有微分几何，想学几何的话也是很重要的专业课。

– Main.GangweiLi - 18 Sep 2013

与其在低维上纠结的事情，放在高维的就变的简单了。最重要的那就是独立思考力。所以能够快速掌握利用计算机来进行推导。可能要真的去看看hackwell语言了。它能更高层面解决你的编程问题。

– Main.GangweiLi - 19 Sep 2013

梁伟说图像搜索，视频图像处理现在比较火。

– Main.GegeZhang - 14 Oct 2013

行列式det的意义是什么？都有哪些用途？

– Main.GegeZhang - 16 Oct 2013

建模思路 Mathematical_optimization

建立目标方程
寻找约束条件
利用拉格朗日乘法与KKT来建立解方程式
通过求极值或者解方程来得目标条件
分析目标条件性质，再进一步优化计算，或者寻找简化计算

– Main.GangweiLi - 24 Feb 2014

代数¶

代数是研究数，数量，关系与结构的数学分析。 http://baike.baidu.com/view/556393.htm

数本身有数论，数量，主要就是集合论了。关系，就是各种运算，加法乘法，再加序。数，多数项式，矩阵。

集合+一定的运算属性 = 群,环,域,线性空间。

映射->变换->函数。

函数的定义域，值域。象。

运算律¶

结合律，交换律，分配律

群，环，域¶

对于一个集合，再加一个代数运算。

#. 群只要非空集合，并且对一个运算 $\circ$ ,有 $e$ 元，就是1，即 $e\circ=a$ 并且 $a^{-1}=e$ 就称为这个集合为这个运算的群。 G的代数运算满足交换率，则称为交换群。

而即1，又有倒数的就叫做群了。这些都是相对于代数运算来说的，例如满足交换律就是交换群。对R对这两人个代数运算成为一环。加法群也就是由0元。 (可以用来研究对称与周期性).

#. 环对于两个代数去算，+，* 集合R为加法作成一个加群，R对乘法满足结合率，并且乘法对加法满足左右结合律。环则是更上一层两个代数运算的系统就叫做环。

域可除环就是域，也就是非零元素都要有逆元。也就是可以做除法的环就做域。

我们平时所说的定义域，值域，域就是指上面的定义的域。

空间具有特定结构的集合。 http://en.wikipedia.org/wiki/Space_(mathematics)

而常见的结构有 http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_structure。

#. 线性空间例如只满足加法与数乘集合就叫线性空间。以及八条性质就就叫空间了。

Thinking¶

数，多项式，矩阵的出现是为了刻画一些物理理和向何量，诸如长度，面积，空间中点的位置，平面的运动，几何变换。但是对于对称性，以及周期性的描就会发现群是最好的表达工具了。

– Main.GangweiLi - 03 Nov 2013

logistic map ¶

Logistic混沌映射系统状态与初始值相关的，不同的初始值会导致无序

Xn+1=Xn×μ×(1-Xn) μ∈[0,4] X∈[0,1]

Thinking¶

feedback)，把输出当作输入，不断滚动。很容易想到，反馈的结果有若干种：发散的、收敛的、周期的等等。但是我们要问一下，一共有多少种可能的运动类型?是否存在既不收敛也不发散，也不周期循环的迭代过程? 回答是肯定的。这一点至关重要，但可惜的是人们最近才普遍认识到有这种运动类型。这说的就是有界非周期运动，它与混沌有关。

– Main.GangweiLi - 19 Sep 2013

*映射*有一维映射，二维映射，有三维吗。

– Main.GangweiLi - 19 Sep 2013

Thinking¶

*离散与连续的区别与联系*这是很微妙的。

– Main.GangweiLi - 17 Oct 2013

数学分析选讲

第一讲：微积分引入的原因是：运动和无穷，解决方法是极限。

在那一瞬间，临时的一个点，究竟是一个固定点，是变量点

自由落体运动的平均速度是多少?

在某一点的速度是多少？

%$frac{1}{2}gt^2=frac{s(4+h)-s(4)}{h}=frac{g(4+h)^2-g(4)^2}{h} =80$%

那么无穷多个数相加是什么？他应该怎么计算？

高等数学

Introduction¶

连续，有界，收敛，单调性，极限等等可以表征函数特征或者曲线或者曲面的特征的。

可微性就是输入的变换与输出变换的关系的一种度量的（可能是线性）。就像冲函数与阶跃函数可能不具备这些特点，也就不可微了。其实也就是时序性，可加性的体现。也就是为什么积分符号在离散上累加和的原因。

digraph flow {
rankdir=LR;
limit -> diff -> integral;
N-> Q->Real->Complex->Tense;
}

数列最早是自然数函数，最后扩展到实数。就变成函数。再从低维到高维。

数列的极限¶

对于任意给定的E>0,可以找到正整数N,使得当m>N时，则|f(n)-a| <E. 数列的极限与前有限项没有关系。并且有邻域（a,e). 也就是 math:|a - x | < e. 这样就可以随意放大与缩小，利用不等式。以零为极限的变量称为无穷小量。 #. 极限的唯一性。 #. 数列的有界性 #. 数列的保序性 #. 数列的夹逼定理数列的四则运算与与正常线性系统是一样的。

数列，级数，幂级数¶

常数项级数也就是数列，最终的结果是一个瞬间的值，也就是一个点，而函数项级数则是曲线叠加，是具有时序的。通项，与前n项和。幂级数的收敛半径。

思路把一个函数展开级数。展成幂级数，就是泰乐级数，系数就 $1/n!f^(n)(x0)$

tylor series 把一个复杂函数变成一个简单我多项式来逼近。幂级数本身也是基函数族。就是为了近似计算，其中二项展开最为精典。

三角函数与复变函数的关系就是欧拉公式。

泰乐极数就是把任一函数变成，幂级数的多项式，傅里叶级数，利用正余弦的函数基的正交性并且计算的方法，就相当于矩阵求上三角阵。然后根据精度取舍了，直流量就是只有一个量相当于列了。

傅里叶级数是用的积分，卷积也是用积分。

直接利用傅里叶级数的系数那就是傅里变换。

奇偶性还是为了研究对称性。是不是可以高维二项式生成一个级数。

并且利用wolfram很方便。提供各种中Laurent 以及Pusieux级数。代数体函数，不通过解方程，只通过系数来探解解空间的性质。

无穷大量¶

就像无穷小量，有严格的定义。并且无穷大与无穷小互为导数。一些不定式分情况而定，对于stars定理，如果 lim dx/dy=a,则lim x/y=a. 要求 x,y严格单调递增。

收敛准则¶

收敛数列有界，有界数列不一定收敛。（有界，单调必有收敛）

通过极限我们就可以把定量与定性分析相互的转换。例如xn>0,则xn=1+xn/(1+xn)的它的极限值就是1/2+1/2*sqrt(5) . 不需要求初始值与具体值。可以递归公式求出极限值。两边同时求极限，然后再解方程。可以通过求x/y求极限，来知道x/y相对于极限的速度。例如都是无穷小量，如果=1就说明两者速度基本一致。 Fibonacci 的增长率的极限是0.618.黄金数。

曲线常度，积分折线常度。例抛物线，任一条曲线的常度，可以积分点距。曲线的曲率，长度都是公式来计算的，曲率由二阶导与一阶来计算出来。长度由曲线积分来求。原来定积分只能求面积。本质是在哪里。平曲曲线的弧长，与空间曲线弧长都是对闭区间示对于点距求积分。见P251微积分。正是有了极限微分与积分基于不同模型才有计算。现在微分与积分基本上是不分家的。有积必有微。在不使用微积分的情况下，还是可以使用极限再初等函数的各种变换来计算。例如圆的面积就是利用数列极限的夹逼性，利用内接与外切正多边的求得圆面积。并且极限可以直接代入方程来计算。我们简称极限方程吧。闭区间套定理，可以证明实数不列。子列，任何子列与原数列的收敛性是一样的。有界数列，必须收敛子列。无界数列，必须无穷大子列。 cancky 收敛原理，收敛充分条件，就是基本数列。

Cancky 收敛 <=>闭区套定理 <=>确界存定理 <=> 单调有界数列收敛定理 <=>Bilenao-Weiertrass 定理
函数极限		Euclid空间

Thinking¶

实数的子集就是区间，开区间，闭区间。

– Main.GangweiLi - 25 Sep 2013

y=x+esin(y) kepler方程。

– Main.GangweiLi - 25 Sep 2013

运算与数系是相关的，由自然数对于加乘的封闭性，而对于整数而减法的封闭，到有理数对除法的封闭。对于开方的封闭加入无理数，从而扩展到实数。

– Main.GangweiLi - 26 Sep 2013

用haskell与python的sympy 来计算一下。

– Main.GangweiLi - 29 Sep 2013

递归公式可以Z变换求通项公式。

– Main.GangweiLi - 02 Oct 2013

线性代数与矩阵¶

关于线性与矩阵的本质这里已经讲的很深入了 http://www.cnblogs.com/TenosDoIt/p/3214096.html 矩阵的本质就是变换，而变换的本质就是运动。空间与集合的区别。空间就是对某种运算封闭的集合。空间的基，空间坐标与空间的坐标系。

相似矩阵，就是对同一变换的不同描述，当然有描述好，有的描述就不好。空间基就坐标就不相关。最小的秩肯定是方阵，但是 $mxn$ 矩阵就必然有重复像。

这些都早都是由解线性方程组发展而来，研究方程系数排列而得来的。矩阵的加法与入都是方程组的变换相关的，而矩阵的乘法，是源于换元计算而来，相当于基转换。并且将其推广到了多维空间，以至于无限维的空间。

其实求矩阵的秩就是求其最大向量无关组，也就是基的个数。对于图像的一阶导以及二阶导，是不是可以通过行列式来直接计算，而卷积计算可以相当于矩阵的分块计算。也就是池化并不改变矩阵的性质。当做一个矩阵操作的话，所有计算应该都是可以可逆的。来来保证信息不损失呢。特殊值与特征方程。

特征向量就是空间的基，而特殊值就是坐标值了。如果已经有了基就是要求特征的方程。或者说已经有矩阵，求其特征值与特征向量了。

二次型其实与SVM类似，采用换元的方程实现，旋转为标准模型来计算。例如方程的ax2+bx+c=0 只有化成 (a-x)^2 =0 时，容易求解。 http://wenku.baidu.com/view/c6aa38fd770bf78a65295491.html

伽罗互运用群的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性。由些代数转变成为研究代数运算结构的科学。

并且可以用来求极值，二次型的极植就是特征值中极值。 http://www.docin.com/p-180278042.html

韦达定理，

是定义的结构，至少要有一定的序。既然是有序就至少一个二元运算。

http://www.cchere.com/thread/3038887

行列式¶

行列式就是全排列求合。并且全排列的性质，因为每一行，每一列都必须出现每一个无素中，所以对于任意一行,列的操作都相当于是对于行列式所有项进行操作。同时我们还可以进行行列式任意两列相同，或者一行或者一列全为零，那么两个行列式值为零。在python中可以使用`numpy.linalg <http://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/routines.linalg.html>`_ 来进行常规的计算。行列式就是一个函数，把n阶方阵，映射为一个标量，并且在欧几何中，有着“体积”的概念。同时可以做为圆锥曲线的判别式。在看到行列式的时候，就要想着那个函数求和形式。这样就会一目录了解了，其实就是一次多项式看到特定的规律排列起来。

cross-product 就是定义按照行列式的定义来写的，只不过它是向量表示，物理意义是四边形面积，一个线性变换的行列式的值，就知道是两个两个变换前后面积比值。

inner-product表示表示的是投影，或者是向量相关性.

行列式与空间的定向性，线性变换，正为同向，负为反像。

规范化正交基的行列式=1.

$aug_y=(a'*a)^(-1)*a'$ ; % 最小二乘,使残差最小 $r_n=a'*(eye(10)-a*aug_y)$ ; % 正交最小二乘就是直接投影到正交空间。

矩阵¶

一般来说，矩阵可以直接一元函数方程。如何解非线性的二元方程。二次型就是其中一种。通过左右乘同时就可以表示一个二次方程了。对于一元函数，一个矩阵表示一组方程。而二次型，二次型而是表示一个方程。看到行列式就应该想到那个那个遍历求和式。有点类似于内积的概念。行列式这个里面讲了行列式的发展史，并且与各个知识的联系。

这个是矩阵矩阵把这两个研究明白就行了。

现在需要的是各个知识之间的联系。而各个具体知识与再用到的时候再去研究。这也许就是整体与局部的关系。我所喜欢的应该是这种整体的关系的研究。而非具体的计算。

对行矩阵 Ax=B,我们习惯于按行与按列求法不同。尤其是按列行式的行列式。最常见的x为一个列向量，而B 也是一个列向量，而A是一个矩阵。按照列看，A就是一个线性空间的基，而x就是基的坐标值了。而b 就是一个项向量。例如是一组点。x也是一组点大坐标了。所以坐标一般都用列向量来表示。

矩阵的kronecker积有点类似于笛卡尔积。

可以用矩阵来生成线性空间。但是矩阵本身并不是代性空间。对于Ax=0,与Ax=B,其实就是一个解空间平移的过程。

对称阵¶

Bezout矩阵，是对称阵，并且还可以找到两对应的多项式来生成。

初等变换¶

左行右列。最简单的说明，那不断乘以单位阵。可以先对单位阵进行变换，然后在左乘或者右乘了。初等方阵就相当于自然数中质数，例如一个方阵都可以一组初等方阵乘积。这个就像自然数因式分解。

相似矩阵，经过有限次初等变换的能相等的矩阵那就是相似矩阵。相似型可以用来研究二次型。也就是二次函数。任意一个给定二次型都是一个对称阵。把一个二次型化成标准型，其标准形的系数就是对称阵的特征值。

矩阵乘法的理解¶

按照定义，最基本的理解，那就是每一个元素都是对应的左行右列，内积之后。在这个理解里，我们要把左边的一行当做向量，而右边的一列当一个空间向量。
按边的Ax=B,x的每一列与A与相乘。最后得到结果一列。这个就是一组线性组合。
按A的每一列与X的每一行相乘。
左边一行与右边一行。就相当于一层一层的叠加。是不是那个金字塔。 1.与复合函数以及神经网络

方程本身就是函数的隐式写法。所以方程组也就是函数组。对于一个矩阵来说，行数代表因变量的个数，而列数代表了自变量的个数。矩阵相乘的意义，就是线性变例如A=B,B=C,然后直接求A=C的过程。简单一些就是复合函数。例如例如两个矩阵F,G.分别代表的是f,g的系数行列。那么f(g)就是F*G,而g(f)而是G*F. 右乘就是求解变量的函数。而左乘那就是外面在加了一层。例如f(g(h))那就是如何求f呢，那就是F*G*H.

而神经网络其实也就是矩阵乘法的应用。

随机mapping 可以用降维，其实降维很简单，只需要生成一个m*n的矩阵，然后直接相同。就能实现降维。只是左乘或右乘。

乘法就是一种映射变换，没有固定意义，我们用随机也达到同样的目的。当然这种随机映射的能力也就是人类的类比能力，也就是 `人类为什么能从极少量的数据中学习。<http://synchuman.baijia.baidu.com/article/273458>`_

同时降与升都在这个A中。上三角矩阵就是利用高斯消元法 ==========================================

从而A=LU-> PA=LU使其更加通用化了，而这个P叫做置换，那就是交换其行。这个P有一些特殊的性质，每一个维空间中，它们个数是有限的，每一维都有N!个。并且其其中任何一个P的转置=P的逆。并且形成一个群。

并且在这里学明白了空间与子空间。空间是由向量而来。集合的笛卡尔积-> 向量->空间-> 线性空间->群。对于线性空间，要求加法与数乘。并且八大基本运算规律。这些定义一定会有零空间，与一空间。也就是与0，1.这个两个值是必然存在的。并且二维空间的一维子空间与一维空间是不一样的。因为其向量是二维的。对于二维空间来说，它的子空间个数也是有限的，自然，0，以及所有过原点的直线。而不是我们想像的四个象限。对于二维空间来说，它的子空间个数也是有限的，本身，0，所有过原点平面，以及直线。每一个矩阵都可以构杨一个空间，如何构成呢，那就是其个列向量的线性组合。

一个向量空间中，只有其Ax=0 解构子空间。而Ax=B不能子空间，没有没有零向量。但是这些解本身又具有什么性质呢。矩阵的秩是主元的个数，那么，是由自由变量的的个数。例如haskell解数独。

-方程组的解空间¶

一组方程组解就组成一个线性空间，所以方程组的解与+，乘应该还是方程的解。把方程组相当做函数，齐次方程组，就是没有常数量，非齐次那就是有常数项。

线性空间其实也是线性方程组的解空间。这个线性方程组就叫做变换。

%RED% Ax=b,可以看做是Ax=0的平移，所以Ax=b的解个数取决于Ax=0有多少解。是不是看f（x)=Ax看做一个函数呢。这样原来函数变化，就有可能变成了空间的移动。随着x的变化而化。如果这样是不是可以有f(x)=Ax^n+bx^(x-1)....这样的方程呢。这样的方程有什么意义。如果这样对于描述物体运动，会更好，现在的基本变化方程已经都可以完全用4*4来实现了。

如何利用有限的线段拟合一个区域边界。反过来如果线性相关，而这个线段首尾相接就形成封闭的区线，其实也就是x1+x2+x3+x4..=0,也就是Ax=0,因为解空间的个数，另外一个那就是现在加法可以任意方向因为有交换率。但是我们如果能要求加法是单向的，不能再交换。我们是不能找到这样一个有序了数列拟合任何区域的边界。就像圆的内接多边形，现在我可以要求多边形长度有变化，有向线段，如果规定逆时针为正，这样不就是求Ax=0就好了。利用曲线的曲率来决定向量的长度。

f(x)=A*T^n*G. f(x)是最终运动方程。 A是物体本身，T就是那个仿射变换，n代表做几次变换，而g是那因变量的各种函数，你如地球转动的角度是时间函数。这样不就是一个整个的运动方程了。那么我们只要输入每一个输入状态。例如当前这个一个原点的位置，那么整个物体的位置不就知道了。

%ENDCOLOR%

线性空间维，基，坐标 有基才会坐标，坐标是一维的，有了基就可以事情简化为一维的运算。秩是向量的最大无关组，秩也代表了可以线性方程组可以多个主元。也就相当于基的维数。而自由变量代表了解决空间的维数。

二阶导数组成一个海森矩阵。

Ax=b,我们看做一个函数，而例如f=Ax是函数的象公间，所以每b都是A的各列的线性组合。所以这个方程有解前提那是。b是A列空间一个列的线性组合。其线性组合另一个空间，并且这个空间维等+加上原空间的维数=整个空间维数。空间的最大维数是什么呢。与集合的势是什么关系。零空间就是齐次方程组的解空间。null space 也正好是其正交补补集。也就是求f=0的值，

四个基本子空间，那就是左右零空间，与行空间与列空间。

矩阵空间，秩1矩阵和小世界图¶

秩1的矩阵是不是可以用压缩数据。如果发现一个矩阵秩为1，就可以直接使用，一行一列，就保存其全部信息。那么一幅的图像秩一般会是多大呢。并且在numpy,有特殊的支持，那就是broadcast方式，np.ogrid正是为产生这各矩阵最简单的方法，例就是那乘法表的实现最简单。对于矩阵直接使用reduce操作。在函数矩阵函数的时候这些就会非常的方便。注意numpy中array 是针对向量组的,numpy的matrix才是针对矩阵的。小世界图就是六度空间。 #. 原创–秩为1的矩阵相关性质

正交向量与子空间与子空间投影¶

Ax=0就得出它的零空间与Ax的空间正交的，并且两者维数是相加等空间维数，所以两个空间正交，也叫做正交补。Ax=b变成f=Ax的话，那就f值就一个由A的列生成向量空间。投影的过程，也就是扔掉了Ax=0的那部分，而留下了Ax=B的那一部分。投影指的一个空间的向量在子空间的投影。如果在全空间的投影，那么投影矩阵就成了单位阵，并且误差投影矩阵就变成了0向量。只是一个子空间上投影。那么其误差就一定在子空间的正交空间中。并且误差投影+投影矩阵=单位阵。这也是必然的。 P=aaT/aTa 在解Ax=b,时无解时，取一个近视解，b取在A 上的投影，熏直量就是误差。误差最小是求投影。P=A(ATA)-1AT，通过通过一般二维的投影提出了高维空间的投影问并且P^的平方=P,

正投影指的投影方向与投影平面是垂直的，而斜投影而非垂直的，相当于把投影平面当做旋转，然后再投影。斜投影=错切+正投影，那如果投影面是区面怎么办，例如是一个球面呢。会有什么性质与效果呢。还有那就是`曲线曲面投影 <http://wenku.baidu.com/view/bf2fe54633687e21af45a964.html>`_ 这个就要用到矩阵函数了吧。斜投影不仅要指定投影平面，还要指定投影方向。具体见快盘斜投影的论文。

最小二乘算法

通过子空间投影误差矩阵,通过代性代数求正交可以快速得到，也可以通过微积分求偏导极值得到参数值是一样的过程。以前一直感觉最小二乘的神秘，现在无非二次多元多项式求偏导。求方程组的解而己。

矩阵求导¶

现在明白了矩阵求导基本的就是jacobian 行列式，从这个角度理解，就比较容易理解求导是什么了。一个 .. math:: m times 1$% 的向量对一个 .. math:: n times 1 的向量求导，雅克比矩阵就是%$ m times n, 我们实际上分析的时候都是基于jacobian行列式的。

<img src=”%ATTACHURLPATH%/leastSquare.JPG” alt=”leastSquare.JPG” width=‘563’ height=‘435’ />

Thinking¶

*SVD分解*左右特征值，西矩阵。西矩阵是复数=实数的正交阵。

– Main.GangweiLi - 15 Oct 2013

`奇异阵 <http://stackoverflow.com/questions/10326015/singular-matrix-issue-with-numpy>`_ 无逆，且一个行列式Det为0 并且为numpy.linalg心专门的线性代数的包，例如求rank,det等。注意求秩不直接使用matrix中那个就是返回的是维数。

– Main.GangweiLi - 16 Oct 2013

*初等方阵相当于质数*任何一个可逆方阵可都示有限个初等方阵的乘积。

– Main.GangweiLi - 17 Oct 2013

我感觉行列式和cross-product仍旧联系不起来?

– Main.GegeZhang - 20 Oct 2013

现在明白为什么要一个矩阵要乘以的转置 这个是为了解决了Ax=B的在无解的情况下，找到一个最优解。例如我们需要三个参数来建立一个方程，来求解一量。但是我们为了测量的精确，我们N组数据，这就形成了N*3的矩阵。然后，我们不知道哪一组方程是不好的，直接把它扔掉了。我们需要的基于这些值得到一个最优解。如何来得到，在方程的两边同乘以它的转置，至于是左乘还是右乘。就要看你是N*N,还是变成3*3了。并且这是一个更好的矩阵。并且这个转置矩阵秩与原来是一样的。所以取得一大组数据之后。第一步删除重复的，然后删除线性的相关。只留下线性无关的。一个向量组的秩与是等于它的维数的。[[1,2,3],[2,4,6]] 这个只是一维的。那就有一个问题，矩阵的秩区分行与列吗。应该不区分吧？然后再乘以转置变成一个更好的矩阵。

– Main.GangweiLi - 21 Oct 2013

子空间 一个子空间的维数与正交的子空间，它们的维数之和必然要等于这个空间的维数。例一个一根直线是一维的，而法平面就是二维。这样在三维的空间。它们才是正交的。另外一个空间的子空间，是指的其一个划分呢，还是只是其低层的子空间。

– Main.GangweiLi - 21 Oct 2013

点线面 以及整个数域用集合论以空间来研究。它们属于哪一部分。

– Main.GangweiLi - 21 Oct 2013

相关=平行

– Main.GangweiLi - 21 Oct 2013

图用列代表结点，而行代表边，起点用-1，终点用1，无关用零。这样形成矩阵，那如何表达权重值呢，结点数-边数+环数=1

– Main.GangweiLi - 27 Oct 2013

矩阵已经看到17张了。

– Main.GangweiLi - 27 Oct 2013

sympy 中矩阵推导好像不太靠谱

– Main.GegeZhang - 04 Dec 2013

Jacobian 就是向量vector求导，有什么意思

– Main.GegeZhang - 04 Dec 2013

对于向量B=[rx,ry,rz]‘和反对称矩阵R= [0,-rz ry; rz,0,-rx;-ry,rx,0]，

– Main.GegeZhang - 16 Dec 2013

Introduction

数相对于运算而来的，由人类最初的记数开始有自然数加法，随着数量的加大就有乘法，对于自然数是封闭的。往后由于分配问题引入除法进而引入小数，再从面积引入乘方与开方。当然另外一些那就是数列。数列就是自然数集的上函数。并且很多在实数集上性质是可以转到自然数集的。 %RED% 既然是函数，我们就要研究函数的一般性质在自然数上体现，直线方程的截距式就是同余式的形式。而同余理论本身也是周性的体现。这里只用到这种取模运算。这当然也可以是别的运算。但是前提那就是多顶式要具有常数项，它的齐次解空间就会有周期性。例如y=sin(ax+b)所以这个周期就是a，而值就是b,而这个正是周期与向位的关系。所以多项式是不是具有常数项这是一个很关键的性质。最简单那就是说明，过不过零点。如果不过零点，那我们利用自然数同余理论来解析了。如果具有常数项就意味着 .. math:: F(0)ne 0不过零点，意味着必有常数项。 %ENDCOLOR% + 形数与素数 ===================

形数与形是有连系的，素数是只能线来表示，形数是可以用形状表示，例如三角形数，五角形数，可以说素数是一维的。形数与素数是相对，素数就只能是一条线了，而形数就可以形成二维形状，最简单的矩形。当然对于它们还可以再细分。形数下面可以有三角形数，就是自然数n项公式。并且都是二次的，1/2k(n**2-n)-n**2+2n. 这个是通项公式。

还有一个特别的玩法，那就是幻方与数独。那就是任意的数的平方都可以是一个幻方。并且幻和。1...n**2的和，可以得到幻各s=1/2(n^2+1)n #. ACM之幻方矩阵 #. 幻方构造（三）通过利用方阵求逆相求数独。例如3x3. 但是遇到奇异阵的问题，其行列值为0，这样其就没有逆。另外是不是可以通过haskell直接生成一个呢，例如一个九维的矩阵，就像写勾股数一样。

对于素数也是有各种各样的素数的

费马素数

\[M_{p}=2^p-1 , 梅森素数 ,\]

\[F_{n}=2^{2^n}-1 , 厄拉多塞筛法 , 直接用已经素数去删除,这是目前一个比较完备素数表 , 孪生素数, 两个差等于2的一对素数,称为孪生素数 ,\]

现在还没有找到一个完整的`素数公式 <http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E5%85%AC%E5%BC%8F>`_ 如果像超越数找到这个公式呢。并且`个数与分布 <http://www.baike.com/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E5%B8%83>`_

%RED% 素数就像线性空间的基，因为所的整数可以表示成一系列素数成积再加同余，就构成了线性空间的基本要素那加法与数乘并且线性总和功能，其表现形式就是多项式。

\[N=p_1^{n1}p_2^{n2}p_3^{n3}\cdots , p1,p2,p3,... 都是素数，那n1,n2,n3之间什么关系，是不是从大到小的关系呢。更像有限级数，并且这个分解是具有唯一的。\]

有了这些计算因子的个数可以通过排列组合来得到。
最大公约数与最小公倍数，公约数与公倍数个数我们可以很容易的得到了。就像方程的整数解空间的问题解决了一半了。因为了有了这个素数基。
除数的个数都可以通过这个变成了排列组合问题。 $ 极大合数: 如果所有比它小的数的除数个数都比它的除数个数少。 $ 完全数: 它等于所有除数之和

\[P=2^{p-1}(2^p-1)$% 这个其实就是几何级数之和%$S=1+2+\cdots+2^{p-1} $ 亲合数: 一个数的除数之和等于另一个数，一百万之内只有42对。\]

进一步

能不把这个当做素数基用来替换原来直接二制存储，这样就变成变进制存储。相当于自然数小波变换。这样加减乘除，以及其他的运算是不是更加简单了。实现了乘法与加法相互快速转换，并且除法与余数的计算也大大简化了。
额外用一个素数表来用于数据压缩。这个需要研究这个形式与数之间的表示关系了。

%ENDCOLOR% 最大公约数与最小公倍数 =================================

正是由于 .. math:: frac{p}{q} ,p,q互质把p,q按照从小最大顺序排列，则所有的有理数是可列的。正好也就说明两个有理数之间是有间隙的。并且任一公因数d一定整除最大公因数d0.并且缩写为gcd.互质数是那就是两者只有1这个公因数。互质数的乘积是一个平方数。最大整除 .. math:: q=[frac{a}{b} ] , b=qa + r

+毕达哥拉斯问题¶

已经直角一边，去求另外两边。一个简单的 .. math:: z^2=x^2+y^2,这里不再是简单的方程求解，还有一些逻辑推理，例如要求x,y,z都是自然数，通过这些隐性的条件我们就可以得到一个解空间，并且这个解空间里的，解的个数可能是有限。所以以后遇到一个问题，不能简单的说有没有解，而应该要知道这个解空间要具有什么样的性质。

记数法¶

各种中进制的记数，最早都源于人类的生活，特别是十进制，是由于人的手指数，而20进制，而是手脚并用了，进制在往后那就是各种编码理论了，例如最常见那就是8421编码，2421编码。同时能否利用素数进行变成编码，因为中间只会缺少一些另外一些素数。因为素数是不能分解进行相互表示的，就像空间的基一样，它们是正交的。 -同余数 ==========

同余数从而形式看就是一个直线方程的截距式表示 .. math:: y=ax+b.同余数很在同一直线上。如果表示的a表示的进制，那么b就代表示这个数的个数，同余数具有相同的尾数。并且同余还有向等式一样的各种应用。并且同余数两边都是可以相以相互加减乘除的。当我们需要解决整除的问题的时候，我们就需要来一下同余式知识。例如

$ 费马小定理:

\[\forall a \in Integral,p \in PrimeNum, a^p \equiv a(mod p) 例如对于毕达哥拉斯三角形的边长的乘积可被60整除，我们遇到求解整数解的时候，就可以通过同余理论知道这些解空间的特性。\]

例如我们中学所学弃九法，同余理论应用。例如模9或者模99的误差。当然日期的星期数，日历那些如何来排都是可以用同余理论来解决的。例如日期的星期数就是模7余数。其实同余理论就是周期性理论在自然数中体现。星期数的计算这里讲的非常的明白。

以及各种循环比赛的程序表，都是可以同余理论来解决的。

另一个应用那就是检测其是素数，还是合数。 See also ========

flint 数论库
素数与音乐这里讲为什么素数这么有意思，并且给出hackell的代码。
勾股定理，以及产生方法 hackell一行搞定
丟番圖方程不定方程的整数解不正式函数的隐式表达。不是可以计算这种方法计算出曲线的图形。利用笛卡尔基来列举就会非常简单。特别适合屏幕上点，因为其必然是一个整数值。
对代数学的发展起了重要作用的丢番
数学博览錧可以看看数学的发展史
同余数
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交换环
素数与加密

Thinking¶

对于数论严究，最基本的就是那些基本数列例如奇数列等于n顶的平方和，可以由求和公式给出。

– Main.GangweiLi - 23 Sep 2013

形数与素数 数与形是有连系的，素数是只能线来表示，形数是可以用形状表示，例如三角形数，五角形数，可以说素数是一维的。

– Main.GangweiLi - 27 Sep 2013

不定方程就是函数的隐式表示，如何函数图形，利用列举法，例如图像的尺寸，然后逐点代入就行。利用笛卡尔积再加下过滤条件就可以得到需要的值了。利用haskell会超简单。

– Main.GangweiLi - 27 Sep 2013

看来素数还是很多性质，我们在上学的时候，只学习了其最无味的定义。所以应该让小孩把这些数论的东东都学习一样。并且可以利用计算机去证明。x^n+y^n=z^n 对于n>2是不成立的，这个是费马猜想，都是由丢番图的不定方程组的正整数解来组成的。

– Main.GangweiLi - 28 Sep 2013

zeta function,L-series 在sympy.mpmath中都有。在总结数论的时候都可以拿来直接使用。

– Main.GangweiLi - 03 Oct 2013

代数数与超越数 整系数代数方程的根。超越数正相反，所以为什么PI,E这些数在正常的方程中我们计算出不这些值来。但是什么时候我们才会用到这些值呢。

– Main.GangweiLi - 27 Oct 2013

– Main.GangweiLi - 31 Oct 2013

本原三角形，也就是三边没有公因数。

– Main.GangweiLi - 31 Oct 2013

单反摄影系统的数学和物理-DSLR造像经

#. opengl 投影变换，从3D到2D的转换，就是相机模型把这两个放在一起，就会明白近端与远端的关系，其实就是一个物距与像距之间了。同时都是opengl都是右乘矩阵。 See also ========

思考¶

定义¶

冲过把长度与面积，体积的统一，就那是连乘性。每个点的各个坐标相减后相乘就得到这个值。

性质¶

四则运算¶

交，并，补，差还是可测。这些结论，对于有限次的四则运算都是成立的。

常见可测集¶

任何区间I都是可测集且同mI=|I|. 康托集的长度为零，但是又实由一一对应。

Thinking¶

传统的方法是积分，是从x分割，按照对称性也应该可以从y轴进行分割积分。实变函数主要也是从这个方向入手研究的。先把值域的范围找出来。然后分割。这就有一个问题，如果来计算函数的宽度的问题。例如y轴来看。那是不是可以当做反函数的积分。

– Main.GangweiLi - 04 Oct 2013

youku中有实变函数的许风的讲座。可测函数相当于黎曼积分的连续与一致连续。

– Main.GangweiLi - 04 Oct 2013

康托集，最后剩下就是分割点，这些点组成的集合，就是康托点。并且小数来分示这种分割。

– Main.GangweiLi - 12 Oct 2013

点集间的距离 就像图论中，集合之间距离是由两集合之间距离最近两个点的距离。根据这个距离的大小。也会有一些性质。例如何两集相交，则距离为零。这也是以后计算零合是否相关的一个判定。同时现在有了个数，同时还可以集合自身常度的与大小的度量。出就是我们所说的面积，体积。

– Main.GangweiLi - 12 Oct 2013

集合之间的测量，例如一条线段是由点组成，那如何度量点的个数，因为是无限个点，就需要另一种度量。例如长度。例如集合自身的距离。就是所以内部点之间距离的之和。

– Main.GangweiLi - 12 Oct 2013

连续从元素的连续到集合的连续 例如康托集就是一个分段连续的典型。

– Main.GangweiLi - 12 Oct 2013

内测度与外测度类似于，左连续与右连续。不过集合，那就是从内部切分，另外一种是外在切分。内测度相当圆内最大内接圆，外测度那就是最小正切多边形。

– Main.GangweiLi - 12 Oct 2013

依测度收敛 就是指两个函数的差值，极限为零。随着其中n趋向于无穷大时。这个其实就是不正是无穷极数的用法吗。